3 manieren om trinomialen te factoriseren

Inhoudsopgave:

3 manieren om trinomialen te factoriseren
3 manieren om trinomialen te factoriseren

Video: 3 manieren om trinomialen te factoriseren

Video: 3 manieren om trinomialen te factoriseren
Video: Verschil 1, 2 en 3 puntsperspectief. Parallelle lijnen tov beeldvlak. Lijnperspectief introductie 2 2024, Maart
Anonim

Een trinominaal is een algebraïsche uitdrukking die uit drie termen bestaat. U zult waarschijnlijk leren om kwadratische trinomialen te ontbinden, dit zijn trinomialen die zijn geschreven in de vorm ax2 + bx + c. Er zijn verschillende trucs die kunnen worden toegepast op verschillende soorten kwadratische trinomialen, maar je zult beter en sneller worden door te oefenen. Veeltermen van hogere graden, met termen als3 of x4, kan niet altijd met dezelfde methoden worden opgelost, maar je kunt vaak gebruik maken van eenvoudige factorisatie of termsubstitutie om ze om te zetten in problemen die met elke kwadratische formule kunnen worden opgelost.

stappen

Methode 1 van 3: Factoring x2 + bx + c

Trinomialen Factor Stap 1
Trinomialen Factor Stap 1

Stap 1. Leer de distributieve eigenschap (ook bekend als FOIL in het Engels) , om uitdrukkingen zoals (x+2)(x+4) te vermenigvuldigen.

Voordat je begint met factoring, is het goed om te weten hoe dit werkt:

  • vermenigvuldig de eerst termen: (x+2)(x+4) = x2 + _
  • Vermenigvuldig de voorwaarden van buiten: (x+2)(x+

    Stap 4.) = x2+ 4x + _

  • Vermenigvuldig de voorwaarden van binnenkant: (x+

    Stap 2.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _

  • vermenigvuldig de laatste termen: (x+

    Stap 2.)(x

    Stap 4.) = x2+4x+2x

    Stap 8.

  • Vereenvoudig: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
Trinomialen Factor Stap 2
Trinomialen Factor Stap 2

Stap 2. Begrijp factorisatie

Wanneer je twee binomialen met elkaar vermenigvuldigt met behulp van de distributieve, krijg je een trinominaal (een uitdrukking met drie termen) van de vorm a x2+ b x+ c, waarbij "a", "b" en "c" gewone getallen zijn. Als je begint met een vergelijking van dezelfde vorm, kun je deze weer ontbinden in twee binomials.

  • Als de vergelijking niet in die volgorde is geschreven, verplaatst u de termen naar de juiste positie. Herschrijf bijvoorbeeld 3x - 10 + x2 Leuk vinden x2 + 3x - 10.
  • Aangezien de grootste exponent 2 is (x2, wordt deze uitdrukking "kwadratisch" genoemd.
Trinomialen Factor Stap 3
Trinomialen Factor Stap 3

Stap 3. Reserveer een spatie voor het antwoord van de voorgestelde methode

Voor nu, gewoon schrijven (_ _) (_ _) in de ruimte gewijd aan het antwoord. We zullen deze velden binnenkort invullen.

Zet nog geen + of – tekens tussen lege termen, omdat we niet weten welke zal worden gebruikt

Trinomialen Factor Stap 4
Trinomialen Factor Stap 4

Stap 4. Vul de eerste termen in

In eenvoudige opgaven waarbij de eerste term van je trinominaal gewoon x. is2, zijn de voorwaarden van de eerste positie altijd x en x. Dit zijn de factoren van x2, omdat x maal x = x2.

  • Ons voorbeeld, x2 + 3x - 10, begint met x2, dan kunnen we schrijven:
  • (x _)(x _)
  • We zullen in de volgende sectie meer uitgebreide problemen bekijken, inclusief trinomialen die beginnen met een term als 6x2of -x2. Volg voor nu het voorbeeldprobleem.
Trinomialen Factor Stap 5
Trinomialen Factor Stap 5

Stap 5. Gebruik factorisatie om de laatste termen te raden

Als je teruggaat en de aanvankelijk gebruikte methode opnieuw leest, zul je zien dat het vermenigvuldigen van de laatste termen de laatste term in de polynoom geeft (die zonder x). Dus om te ontbinden, moeten we twee getallen vinden die zich vermenigvuldigen om de laatste term te vormen.

  • In ons voorbeeld, x2 + 3x - 10, de laatste term is -10.
  • Wat zijn de factoren van -10? Welke twee getallen samen vormen -10?
  • Er zijn een paar mogelijkheden: -1 keer 10, 1 keer -10, -2 keer 5, of 2 keer -5. Schrijf deze paren ergens op zodat je ze niet vergeet.
  • Verander het antwoord nog niet. Ze ziet er nog zo uit: (x _)(x _).
Trinomialen Factor Stap 6
Trinomialen Factor Stap 6

Stap 6. Test welke mogelijkheden werken met buiten- en binnenvermenigvuldiging

We hebben de laatste termen teruggebracht tot weinig mogelijkheden. Test ze allemaal door de externe en interne termen te vermenigvuldigen en vervolgens het resultaat te vergelijken met onze trinominaal. Bijvoorbeeld:

  • De "x"-term van ons oorspronkelijke probleem is "3x", dus dat is wat we in de test willen krijgen.
  • Test -1 en 10: (x-1)(x+10). Buiten + binnenwaarde = 10x - x = 9x. Niet.
  • Toets 1 en -10: (x+1)(x-10). -10x + x = -9x. Dit is niet juist. Na het testen van -1 en 10 weet je dat het antwoord 1 en -10 precies het tegenovergestelde is van het bovenstaande resultaat: -9x in plaats van 9x.
  • Test -2 en 5: (x-2)(x+5). 5x - 2x = 3x. Dit komt overeen met de oorspronkelijke polynoom, dus dit is het juiste antwoord: (x-2)(x+5).
  • In eenvoudige gevallen als deze, wanneer er geen constante voor de x. staat2, kunt u een snelkoppeling gebruiken: voeg gewoon de twee factoren toe en plaats een "x" na (-2+5 → 3x). Dit werkt niet bij meer gecompliceerde problemen, dus het is goed om het volledige hierboven beschreven pad te onthouden.

Methode 2 van 3: Meer uitgebreide trinomialen weglaten

Trinomialen Factor Stap 7
Trinomialen Factor Stap 7

Stap 1. Gebruik eenvoudige factoring om meer uitgebreide problemen te vergemakkelijken

Laten we zeggen dat je moet factor 3x2 + 9x - 30. Zoek naar een getal dat rekening houdt met alle drie de termen (hun 'grootste gemene deler' of MDC). In dit geval is dat 3:

  • 3x2 = (3)(x2)
  • 9x = (3) (3x)
  • -30 = (3)(-10)
  • Dus 3x2 + 9x - 30 = (3)(x2+3x-10). We kunnen de nieuwe trinomiale factor buiten beschouwing laten met behulp van de stappen aan het begin van dit artikel. Het antwoord zal zijn: (3)(x-2)(x+5).
Trinomialen Factor Stap 8
Trinomialen Factor Stap 8

Stap 2. Zoek naar meer uitgebreide factoren

Soms kan de factor variabelen omvatten, of moet u een paar keer factoriseren totdat u de eenvoudigste uitdrukking vindt die mogelijk is. Hier zijn enkele voorbeelden:

  • 2x2y + 14xy + 24y = (2j)(x2 + 7x + 12)
  • x4 + 11x3 - 26x2 = (x2)(x2 + 11x - 26)
  • -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
  • Vergeet niet om de nieuwe trinominaal nog een keer te factoriseren, met behulp van de stappen vanaf het begin. Controleer uw antwoord en vind vergelijkbare voorbeeldproblemen aan het einde van dit artikel.
Trinomialen Factor Stap 9
Trinomialen Factor Stap 9

Stap 3. Los problemen op met een getal voor de x2.

Sommige kwadratische trinomialen kunnen niet worden vereenvoudigd totdat u het gemakkelijkste type probleem hebt bereikt. Leer hoe u problemen zoals 3x. oplost2 + 10x + 8 en oefen dan zelf met de voorbeeldopgaven aan het eind van dit artikel:

  • Stel het antwoord samen: (_ _)(_ _)
  • De eerste termen hebben elk een "x" en, wanneer vermenigvuldigd, resulteren in 3x2. Er is hier maar één mogelijke optie: (3x _)(x _).
  • Noem de factoren van 8. Onze opties zijn 1 keer 8, of 2 keer 4.
  • Test ze met de termen buiten en binnen. Merk op dat de volgorde van factoren van belang is, aangezien de buitenste term wordt vermenigvuldigd met "3x", niet met "x". Probeer alle mogelijkheden totdat je een resultaat krijgt van buiten + binnen 10x (volgens het oorspronkelijke probleem):
  • (3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x Niet.
  • (3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x Niet.
  • (3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x Niet.
  • (3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x Ja, dit is de juiste factor.
Trinomialen Factor Stap 10
Trinomialen Factor Stap 10

Stap 4. Gebruik substitutie voor trinomialen van hogere kwaliteit

Je wiskundeboek zal je misschien verrassen met een vergelijking met een hoge x-exponent4, zelfs nadat je al eenvoudige factorisatie hebt gebruikt om het probleem te verlichten. Probeer het te vervangen door een nieuwe variabele die de vergelijking verandert in iets dat je kunt oplossen. Bijvoorbeeld:

  • x5+13x3+36x
  • =(x)(x4+13x2+36)
  • Laten we een nieuwe variabele uitvinden. We zeggen dat y = x2 en we zullen de vervangingen maken:
  • (x)(y2+13j+36)
  • =(x)(y+9)(y+4). Ga nu terug naar het gebruik van de oorspronkelijke variabele:
  • =(x)(x2+9)(x2+4)
  • = (x)(x±3)(x±2)

Methode 3 van 3: Factoring in speciale gevallen

Trinomialen Factor Stap 11
Trinomialen Factor Stap 11

Stap 1. Zoek naar priemgetallen

Controleer of de constante in de eerste of derde term van de trinominaal een priemgetal is. Een priemgetal kan alleen door zichzelf en door 1 gelijk worden gedeeld, dus er is maar één mogelijk paar binomiale factoren.br>

  • Bijvoorbeeld in x2 + 6x + 5, "5" is een priemgetal, dus de binomiaal zou er als volgt uit moeten zien: (_ 5)(_ 1).
  • In 3x probleem2+10x+8, 3 is een priemgetal, dus de binomiaal zou er als volgt uit moeten zien: (3x _)(x _).
  • Voor het 3x-probleem2+4x+1, zowel "3" als "1" zijn priemgetallen, dus de enige mogelijke oplossing is (3x+1)(x+1). (U moet deze vermenigvuldiging nog steeds uitvoeren om uw berekening te controleren, aangezien sommige uitdrukkingen niet kunnen worden ontbonden - bijvoorbeeld 3x2 + 100x + 1 heeft geen factoren).
Trinomialen Factor Stap 12
Trinomialen Factor Stap 12

Stap 2. Controleer of de trinominaal een perfect vierkant is

Een perfecte vierkante trinominaal kan worden ontbonden in twee identieke binomialen, en de factor wordt meestal geschreven als (x+1)2, in plaats van (x+1)(x+1). Hier zijn enkele veelvoorkomende problemen die de neiging hebben om in de problemen te komen:

  • x2+2x+1=(x+1)2, en x2-2x+1=(x-1)2
  • x2+4x+4=(x+2)2, en x2-4x+4=(x-2)2
  • x2+6x+9=(x+3)2, en x2-6x+9=(x-3)2
  • In een perfecte vierkante trinominaal in de vorm van een x2 + bx + c, de termen "a" en "c" zijn altijd positieve perfecte vierkanten (zoals 1, 4, 9, 16 of 25), en de term b (positief of negatief) is altijd gelijk aan 2(√a * c).
Trinomialen Factor Stap 13
Trinomialen Factor Stap 13

Stap 3. Controleer of er geen oplossing is

Niet alle trinomialen kunnen worden ontbonden. Als u vastzit op een kwadratische trinominaal (ax2+bx+c), gebruik de kwadratische formule om het resultaat te vinden. Als de enige antwoorden de vierkantswortel van een negatief getal zijn, dan is er geen echte oplossing, dus zijn er geen factoren.

Gebruik voor niet-kwadratische trinomialen het Eisenstein-criterium, dat wordt beschreven in de sectie hints

Antwoorden en probleemvoorbeelden

  1. Antwoorden op de meest uitgebreide factoringproblemen.

    Dit zijn de problemen met het gedeelte over "meer uitgebreide" trinomialen. We hebben ze al vereenvoudigd, waardoor ze een eenvoudiger probleem worden. Probeer ze nu op te lossen met behulp van de stappen vanaf het begin, controleer dan je berekeningen hier:

    • (2j)(x2 + 7x + 12) = (x+3)(x+4)
    • (x2)(x2 + 11x - 26) = (x+13)(x-2)
    • (-1)(x2 - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (x-3)2
  2. Probeer complexere factoringproblemen op te lossen.

    Deze problemen hebben een gemeenschappelijke factor in elke term waarmee eerst rekening moet worden gehouden. Markeer de spatie na de gelijktekens om het antwoord te zien en controleer je berekeningen hier:

    • 3x3+3x2-6x = (3x)(x+2)(x-1) ← markeer deze ruimte om je antwoord te zien
    • -5x3ja2+30x2ja2-25j2x = (-5xy^2)(x-5)(x-1)
  3. Oefen met moeilijke problemen.

    Deze problemen kunnen niet in eenvoudigere vergelijkingen worden verwerkt, dus u moet een antwoord bedenken in de vorm van (_x + _)(_x + _) door te testen:

    • 2x2+3x-5 = (2x+5)(x-1) ← markeer om het antwoord te zien
    • 9x2+6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1)2 (Hint: u moet mogelijk meer dan een paar factoren proberen voor 9x).

    Tips

    • Als u niet weet hoe u een kwadratische trinominaal (ax2+bx+c), kan de kwadratische formule gebruiken om de waarde van x te vinden.
    • Hoewel u niet hoeft te weten hoe u dit moet doen, kunt u het criterium van Eisenstein gebruiken om snel te bepalen of een polynoom onherleidbaar is en niet kan worden ontbonden. Dit criterium is van toepassing op elke polynoom, maar het werkt vooral goed met trinomialen. Als er een priemgetal "p" is dat de laatste twee termen gelijk verdeelt en aan de volgende voorwaarden voldoet, dan is de polynoom irreducibel:

      • De constante term (geen variabele) is een veelvoud van p, maar niet p.2.
      • De hoofdterm (bijv. "a" in ax2+bx+c) is geen veelvoud van p.
      • Bijvoorbeeld 14x2 + 45x + 51 is onherleidbaar, want er is een priemgetal (3) dat 45 en 51 gelijk deelt, maar niet 14, en 51 kan niet gelijk worden gedeeld door 32.

    Mededelingen

    Hoewel dit geldt voor kwadratische vergelijkingen, zijn factoreerbare trinomialen niet noodzakelijk het product van twee binomials. Bijvoorbeeld: x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2)(x2 - 5x + 23).

Aanbevolen: